Séminaire : "Actualité de René Thom"_17/05/2019

Séminaire International

ACTUALITÉ DE RENÉ THOM à Paris et online:

SCIENCE DES SYSTÈMES COMPLEXES & THÉORIE DES CATASTROPHES


TABLE RONDE 5:

Paul Bourgine (Complex Systems Digital Campus | France)

David Trotman (Aix-Marseille Université | France)

PLUS D'INFORMATIONS ET INSCRIPTION

David Trotman

Avancées mathématiques liées aux modèles mathématiques de la morphogenèse de René Thom

Je discuterai de progrès réalisé depuis 50 ans dans l’étude des singularités des applications différentiables et dans la théorie des ensembles stratifiés initiée par René Thom et développée dans les années 60 en parallèle avec ses travaux célèbres sur des modèles mathématiques de la morphogénèse. Certains de ces nouveaux résultats pourraient être utiles en vue d’élaborations plus poussées des modèles. On parlera notamment de différentes notions d’équisingularité topologique des ensembles stratifiés de Thom : les notions fortes donnant plus de précision dans la classification et les notions faibles permettant une étendue plus large du champ d’étude. On parlera aussi d’une amélioration du théorème de Mather (conjecturé par Thom) sur la densité des applications structurellement stables et de la récente classification des fonctions simples selon le type bilipschitz.



Paul Bourgine

Science des systèmes complexes et théorie des catastrophes

L'exposé vise à réconcilier les positions de René Thom et d'Ilya Prigogine dans l'étude des systèmes complexes. Ilya Prigogine postulait un changement du paradigme de prédiction: prédire non pas ce qui va arriver (en certitude) mais ce qui peut arriver (en probabilité). René Thom ne s'intéressait de son côté qu'à la partie déterministe des dynamiques. Une manière générale de réconcilier les deux points de vue est de passer d'une dynamique stochastique à la dynamique déterministe en probabilité comme le font les équations de Fokker-Planck. On examine d'abord le cas des systèmes adaptatifs complexes avec leurs dynamiques co-évolutionnistes de sélection/réplication/mutation et leurs équilibres ponctués : les longues périodes de mutualisme peuvent être séparées par des avalanches co-évolutionnistes de toute taille et de toute durée. La dynamique déterministe en probabilité peut être regardée du point de vue de la théorie des catastrophes dont on examine quelques cas. Dans le cas général d'un système complexe avec son grand réseau d'entités en interaction avec création/destruction de liens et de nœuds, on suppose — comme le théorème fondamental de la mécanique statistique — que l'on connaît l'histoire macroscopique et la théorie des entités au niveau microscopique mais pas leurs histoires microscopiques avec leurs interactions. Il est alors nécessaire de généraliser les équations de Fokker-Planck. Il faut y introduire un effet de mémoire : la partie déterministe de la dynamique est alors dépendante de l’histoire macroscopique ou encore, de façon équivalente, dépendante du chemin macroscopique (donc pas seulement de son état initial).

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